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简单的线性规划（二）

线性规划教学设计方案（二）

教学目标

　　巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值．

重点难点

　　理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点．

　　如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点．

教学步骤

【新课引入】

　　我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用．

【线性规划】

　　先讨论下面的问题

　　设 ，式中变量x、y满足下列条件

           ①

　　求z的最大值和最小值．

　　我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中 内部且包括边界．点（0，0）不在这个三角形区域内，当 时， ，点（0，0）在直线 上．

　　作一组和 平等的直线

　　可知，当l在 的右上方时，直线l上的点 满足 ．

即 ，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点 的直线 ，所对应的t最小，所以

　　在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件．

 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于 又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数 在线性约束条件①下的最大值和最小值问题．

　　线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示．

　　一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．

【应用举例】

　　例1  解下列线性规划问题：求 的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

　　解：先作出可行域，见图中 表示的区域，且求得 ．

　　作出直线 ，再将直线 平移，当 的平行线 过B点时，可使 达到最小值，当 的平行线 过C点时，可使 达到最大值．

　　通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：

　　第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；

　　第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；

　　第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值．

　　例2  解线性规划问题：求 的最大值，使式中的x、y满足约束条件．

　　解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域．

　　作出直线 将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使 达到最大值，解方程组 得点B的坐标为（9，2）．

　　∴ 

　　这个例题可在教师的指导下，由学生解出．在此例中，若目标函数设为 ，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得．事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数 所确定的直线 的斜率 有关．就这个例子而言，当 的斜率为负数时，即 时，若 （直线 的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当 时，点C处使z取得最大值（比如： 时），若 ，可请同学思考．

随堂练习

1．求 的最小值，使式中的 满足约束条件

2．求 的最大值，使式中 满足约束条件

答案：1． 时， ．

　　　2． 时， ．

总结提炼

1．线性规划的概念．

2．线性规划的问题解法．

布置作业

1．求 的最大值，使式中的 满足条件

2．求 的最小值，使 满足下列条件

答案：1．

　　　2．在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，

探究活动

利润的线性规划

　　［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等．

　　建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为 （0，5），1998年的利润为 7万元及1999年的利润为 8万元分别对应点 （1，7）和 （2，8），那么

　　①若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为13万元．

　　②若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11万元．

　　③若将过 两点的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10万元．

　　④若将过 及线段 的中点 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．

　　⑤若将过 及 的重心 （注： 为3年的年平均利润）的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为11．667万元．

　　⑥若将过 及 的重心 的直线作为预测直线 ，其方程为： ，这样预测2001年的利润为10．667万元．

　　⑦若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为9万元．

　　⑧若将过 且以线段 的斜率 为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为11.5万元.

　　⑨若将过点 且以线段 的斜率 为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线 的方程为； ，这样预测2001年的利润为12万元．

　　⑩若将过 且以线段 的斜率 与线段 的斜率 的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线 的方程为： ，这样预测2001年的利润为12万元．

　　如此这样，还有其他方案，在此不—一列举．

　　［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？

　　（2）第⑦种方案中， 的现实意义是什么？

　　（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案．如方案⑥中，过 的重心 ，找出以 为斜率的直线中与 两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线．

　　（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？

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