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对测量有关向题的讨论
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一、对一道物理竞赛题的评析
题目 五位同学用同一把毫米刻度尺测量同一个物体的长度，他们测量的结果分别是（1）18．23 cm、（2）182．35 mm、（3）17．72 cm、（4）0．1835 m、（5）182．2 mm。其中_______同学的测量肯定是错误的，______同学的测量可能是错误的。若要求该物体长度的平均值，平均值应是________。
1．分析与解 为了便于分析，我们把这五位同学的测量结果的单位统一用mm表示，他们的测量值分别为（1）182．3 mm，（2）182．35 mm，（3）177．2 mm，（4）183．5 mm、（5）182．2 mm。根据题意，刻度尺的最小刻度是1 mm，则被测物体的长度可以从刻度尺上读出来，如果这五位同学的测量方法都是正确的，那么他们测量结果的毫米位都应该是相同的。从大多数同学的测量结果来看，被测物体长度的准确值应为182 mm．第三位同学测量所得的准确值为177 mm，第四位同学测量所得的准确值为183 mm，由此可见，这两位同学的测量值肯定是错误的，并且可以判定他们犯了操作上的错误。估读只能估读一位，第二位同学估读两位是毫无根据的，所以，他的测量值（182．35 mm）也是错误的，这位同学犯了估读错误。计算平均值时应去掉由于操作错误而得到的测量结果，所以，物体长度的平均值为L＝（182．3＋182．3＋182．2）mm÷3＝182．26 mm，因为求平均值只能提高估读值的准确程度而不可能超出刻度尺的原始准确程度，所以，该物体长度的平均值应为182．3 mm。〔（附参考答案：肯定错误的是182．35 mm，可能错误的是17．72 cm，平均值是18．26或18．27）cm。〕
2．对该题的评析 （1）这是一道错题。①题中“哪些同学的测量结果可能是错误的”的命题是极其荒谬的。现实生活中我们经常会碰到这样一类问题：对同一个事物进行测量时得到的众多结论中判断哪些是正确的。解决这类问题时应遵循一条原则──从众原则，即在测量方法正确的前提下，相同数据占据多数的是正确的，与多数数据不同的是错误的。根据从众原则，对同一个事物进行测量时得到的众多数据中要么是对的，要么就是错的，并不存在哪个可能对哪个可能错的问题。若不遵循从众原则，我们就可以在众多数据中任意指定一个是正确的，其他所有不同的数据就可能是错误的，这就全乱套了，现实生活中的这类问题也就天法得以解决。请看命题者给出的参考答案：平均值是18．26（或18．27）cm．由此我们可以看到，按照命题者的思维方式处理问题，其测量的最终结果都是不确定的，所以，这样求得的平均值是毫无意义的。由此引申可得：这样做实际上已经失去了测量的意义。②题意不明。从以上分析可知，五位同学中有两位犯了操作错误，一位犯了估读错误，那么，题中所说的“测量错误”指的是操作错误还是估读错误（或者两者都算）？题意不明确，解题者无从下手。（2）命题者给出的参考答案是错误的，而且错的实在有点离谱。从命题者给出的参考答案来看，犯了估读错误的被判定为“肯定错误”，两位肯定犯有操作错误同学，一位被判定为“可能错误”，另一位则被判定为正确，由此又导致了平均值的计算错误（并且由于存在一个所谓的“可能错误”，因而还出现了两个可能的平均值）。命题者的解题依据是什么？
二、测量估读问题及“二、五、八”法则
很多人认为，估读值只要在最小分度值以内都是允许的。例如，有三位同学对同一个测量结果进行读数，分别读作182．1 mm，182．2 mm和182．5 mm，就有人认为这三个值都是正确的，理由是这三位同学读得的准确值都相同，而不同的测量者在估读时其估读值是允许不同的。其实不然，不同测量者的估读值允许不同这句话完全正确，但并不等于说可以“瞎估”，实际上，估读值的范围至少可以控制在刻度尺最小刻度的一半以内（应用“二、五、八”法则，估读值范围可以控制在刻度尺最小刻度的三分之一以内），根据从众原则，可以判定第三位同学是在“瞎估”。
1．“二、五、八”法则──一种合理而又实用的估读方法
大致判定刻度尺最小刻度的一半位置。若被测物体在这一位置附近则估读0．5，明显小于这一位置估读0．2，明显大于这一位置估读0．8。为便于叙述，简称“二、五、八”法则。
2．“二、五、八”法则的合理性
在对某物体进行测量时，若被测物体的一端在刻度尺上某个最小刻度以外且明显小于该刻度的一半处，那么就有可能某人估读0．1，某人估读0．2，某人估读0．3，这些估读值都是合理的，求这些合理的估读值的平均值，可得其值为0．2；若物体的一端在刻度尺上最小刻度的一半附近，那么就有可能某人估读0．4，某人估读0．5，某人估读0．6，这些估读值也都是合理的，求这些合理的估读值之平均值，可得其值为0．5；若物体的一端在刻度尺上某个最小刻度以外且明显大于该刻度的一半处，那么就有可能某人估读0．7，某人估读0．8，某人估读0．9，求这些合理的估读值之平均值，可得其值为0．8．可见，0．2，0．5，0．8分别是不同的测量者在几个范围内所得合理估读值的平均值，这就是“二、五、八”法则的理论基础。
可能会有人提出这样的问题，若被测物体的一端在刻度尺上某个最小刻度以外且明显靠近另一个相邻最小刻度处，可能没有人会估读0．7，估读0．8和0．9的概率是相同的，其平均值为0．85，根据四舍五入法对尾数处理后平均值应为0．9，“二、五、八”法则岂不就不适用了吗？这里应指出的是，计算平均值时尾数处理方法是“四舍、六入、五凑偶”而不是四舍五入。“五凑偶”的意思是对尾数5处理后把它前面的数凑成偶数，即当尾数为5时，若它前面的数为奇数则入，它前面的数为偶数则舍。所以对0．85处理后其值为0．8而不是0．9。同理，若被测物体的一端在刻度尺上某个最小刻度以外明显靠近该最小刻度处，没有人会估读0．3，但估读0．1和估读0．2的概率是相同的，其平均值为0．15，用上述方法对0．15处理后其值为0．2。被测物体在最小刻度的一半位置附近时不同测量者估读0．4，0．5，0．6的概率是相同的，平均值就是0．5。
综上所述，足以说明“二、五、八”法则的合理性。
3．“二、五、八”法则的实用性
应用“二、五、八”法则估读，不同的测量者所得的合理估读值将都是相同的，这就避免了求平均值的麻烦（如前所述，“二、五、八”法则实质上就是建立在对不同的测量者所得的合理估读值求平均值的基础上的，也就是说，应用“二、五、八”法则是求平均值在先）。
三、关于物体长度的准确值和“真实长度”
在很多教辅书上甚至在一些教科书上我们经常可以看到“物体的真实长度为……”诸如此类的说法。这种说法是错误的。这里所说的某物体的真实长度是多少，其实就是用某一分度值的刻度尺测量该物体长度的结果。例如，说某物体的真实长度为6．56426 m，其实就是用分度值为0．1 mm的刻度尺测量该物体长度的结果，其长度的准确值是6．5642 m，如果用分度值为0．01 mm的刻度尺测量该物体长度，其值可能就是6．564263 m；若用分度值为0．001 mm的刻度尺测量该物体长度，其值可能就是6．5642628 m；……请问：该物体的真实长度到底是多少？随着科学技术的发展，人们对微观世界的探究手段越来越先进，而人们对微观世界的探究是无穷尽的。在实际问题中，我们关心的是对物体测量的准确程度应达到什么要求，采用何种手段才能达到这个精度。追究一个物体的真实长度到底是多少是不可能也是毫无意义的。 | 
