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《高考研究系列》之多面体与旋转体

考试内容：

棱柱（包括平行六面体）。棱锥。棱台。多面体。

圆柱。圆锥。圆台。球。球冠。旋转体。

体积的概念与体积公理。棱柱、圆柱的体积。棱锥、圆锥的体积。棱台、圆台的体积。球和球缺的体积。

考试要求：

(1)理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球及其有关概念和性质。

(2)掌握直棱柱、正棱锥、正棱台和圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式以及球冠的面积、球缺的体积公式（球缺体积公式不要求记住），并能运用这些公式进行计算。

(3)了解多面体和旋转体的概念，能正确画出直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的直观图。

(4)对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。

一、选择题

如果正方体ABCD－A’B’C’D’的棱长为a,那么四面体A‘－ABD的体积是(　 )(85年(1)3分)

(A)　　(B)　　　 (C)　　　 (D)　　　　 　

如果圆锥的底半径为,高为2,那么它的侧面积是(　)(89年(3)3分)
(A)4π　 (B)2π　 (C)2π　 (D)4π

已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是(　 )(89年(8)3分)
(A)4　 (B)3　 (C)2　 (D)5

如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于(　 )90年(3)3分)
(A) (B)　 (C) (D)

已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是(　 )(92年(5)3分)
(A)6:5 (B)5:4 (C)4:3 (D)3:2

长方体的全面积为11,十二条棱长之和为24,则这个长方体的一条对角线长为(　 )(92年(18)3分)
(A)2 (B) (C)5　 (D)6

当圆锥的侧面积和底面积的比值是时,圆锥的轴截面顶角是(　)(93年(3)3分)
(A)45° (B)60° (C)90° (D)120°

若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是(　 )(93年(13)3分)
(A)三棱锥　 (B)四棱锥　 (C)五棱锥　 (D)六棱锥

如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱体积的最大值是(　 )(93年(14)3分)
(A)π　 (B)π　 (C)π　 (D)

圆柱正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为(　 )(94年(7)4分)
(A)32　 (B)28　 (C)24　 (D)20

圆柱过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB＝BC＝CA＝2,则球面面积是(　 )(94年(13)5分)
(A)π　 (B)π (C)4π (D)π

正方体的全面积是a²,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是(　)(95年(4)4分)
(A)π　 (B)π　 (C)2πa² (D)3πa²

将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD＝a,则三棱锥D－ABC的体积为( )(96年(9)4分)
(A) (B) (C)　 (D)

母线长为l的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角φ等于(　 )(96年(14)5分)
(A)π (B)π　 (C)π　 (D)π

长方体一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球的表面积是(　 )(97年(8)4分)
(A)20π (B)25π (C)50π (D)200π

圆台上、下底面积分别为π、4π,侧面积为6π,这个圆台的体积是(　 )(97年(12)5分)
(A)π　 (B)2π　 (C)π　 (D)π

已知圆锥的全面积是底面积的3倍,那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　 )(98年(8)4分)
(A)120° (B)150° (C)180°　　　(D)240°

如果棱台的两底面积分别为S,S’,中截面积是S0,那么(　 )(98年(9)4分)
(A)2 (C)2S0＝S＋S‘　　 (D)S0²＝2SS’

向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示,那么水瓶

的形状是(　 )(98年(10)4分)

球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆面积为4π,那么这个球的半径为(　 )(98年(13)分)
(A)4 (B)2 (C)2　 (D)

若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是(99年(7)4分)
(A)6cm　 (B)6cm (C)2cm (D)3cm

如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF＝,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为(99年(10)4分)
(A)　 (B)5　 (C)6　 (D)

如果圆台的上底面半径为5,下底面半径为R,中截面把圆台分成上下两个圆台,它们的侧面积之比为1:2,那么R＝(99年(12)5分)
(A)10　 (B)15　 (C)20　 (D)25

二、填空题

(1) 在xoy平面上,四边形ABCD的四个顶点坐标依次为(0,0),(1,0),(2,1),(0,3),则这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积为___________.(86年(13)4分)

(2)一个正三棱台的下底和上底周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,则斜高为_________.(87年(15)4分)

注:满足条件“侧面积等于两底面积之差”的三棱台不存在，只有“压缩”成平面图形方可，而此时所求“斜高”实为内、外两正方形(上、下底)对应边的距离。　

(3)如图,三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,若E,F分别为AB,AC中点,平面EB₁C₁F将三棱柱分成体积为V₁,V₂的两部分,那么V₁:V₂＝_______.(90年(20)3分)　

(4)已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的
角是45°,那么这个正三棱台的体积等于________.(91年(18)3分)

(5)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两互相垂直,且PA＝PB＝PC＝a,那么这个球面的面积是_________.(91年(20)3分)

(6)设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2,圆锥顶点到直线AB的距离为,AB和圆锥轴的距离为1,则该圆锥的体积为________.(94年(19)4分)

(7)已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为,则圆台的体积与球的体积之比为________.(95年(17)4分)

(8)在半径为30m的圆形广场上空,设置一个照明光源,射向地面的光成圆锥形,其轴截面顶角为120,若要光源恰好照亮整个广场,其高度应为______(精确到0.1m)(97年)

(9)如图:在直四棱柱ABCD－A‘B’C‘D’中,当底面四边形ABCD满足条件_______时,

有A‘C⊥B’D‘.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)(98年(18)4分)

三、解答题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(1) 如图:三棱锥P－ABC中,已知PA⊥BC,PA＝BC＝l,PA和BC的公垂线ED＝h,求证:三棱锥P－ABC的体积V＝.(87年(17)12分)

(2) 如图:正三棱锥S－ABC的侧面是边长为a的正三角形,D是SA的中点,E是BC的中点,

求△SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.(88年(26)10分)

(3) 如图:在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中,已知AB＝5,AD＝4,AA₁＝3,AB⊥AD,

∠A₁AB＝∠A₁AD＝.
Ⅰ.求证:顶点A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的角平分线上;

Ⅱ.求这个平行六面体的体积.(89年(20)10分)

(4)如图:A₁B₁C₁－ABC是直三棱柱,过点A₁,B,C₁的平面
和平面ABC的交线为l.　　　　　　　　　　

Ⅰ.判定直线A₁C₁和l的位置关系,并加以证明;

Ⅱ.若AA₁＝1,AB＝4,BC＝3,∠ABC＝90°,求顶点A₁到直线l的距离.(93年(26)8分)

(5)如图:已知A₁B₁C₁－ABC是正三棱柱,D是AC中点.

Ⅰ.证明:AB₁∥平面DBC₁;

Ⅱ.假设AB₁⊥BC₁,求以BC₁为棱DBC₁与CBC₁为面的二面角α的度数.(94年(23)12分)

(6)如图:圆柱的轴截面ABCD是正方形,
点E在底面圆周上,AF⊥DE,F是垂足

Ⅰ.求证:AF⊥DB;

Ⅱ.如果圆柱与三棱锥D－ABC的体积比等于3π,
求直线DE与平面ABCD所成的角.(95年(23)12分)

(7)如图:在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,E∈BB₁,截面A₁EC⊥侧面AC₁.

Ⅰ.求证:BE＝EB₁;

Ⅱ.若AA₁＝A₁B₁,求平面A₁EC与平面所成二面角(锐角)的度数.
(96年(22)12分)

注意:在下面横线上填上适当内容,使之成为Ⅰ的完整证明,并解答Ⅱ.

Ⅰ.证明:在截面A₁EC内,过E作EG⊥A₁C,G是垂足,

①∵_____________,

　 ∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB＝BC得BF⊥AC,

②∵_____________,

　 ∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG,
则BF,EG确定一个平面,交侧面AC₁于FG,

③∵_____________,

∴BF∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE＝FG.

④∵_____________,

∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC

⑤∵_____________,

∴FG＝,即BE＝,故BE＝EB₁.

(8)如图,在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中,E,F分别是BB₁,CD的中点.

Ⅰ.证明AD⊥D₁F;

Ⅱ.求AE与D₁F所成的角;

Ⅲ.证明面AED⊥面A₁FD₁;

Ⅳ.设AA₁＝2,求三棱锥F－A₁ED₁的体积V_F－A1ED1.(97年(23(12分)

(9)已知斜三棱柱ABC－A’B‘C’的侧面A‘ACC’与底面ABC垂直,

∠ABC＝90°,BC＝2,AC＝2 3 且AA‘⊥A’C,AA‘＝A’C.

①求侧棱AA‘与底面ABC所成角的大小;

②求侧面A’ABB‘与底面ABC所成二面角的大小;

③求顶点C到侧面A’ABB‘的距离.(98年(23)12分)

(10)如图,已知四棱柱ABCD－A’B‘C’D‘,点E在棱D’D上,
截面EAC∥D‘B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB＝a

(1)求截面EAC的面积
(2)求异面直线A’B‘与AC之间的距离
(3)求三棱锥B’－EAC的体积(99年(21)12分)

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