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2007年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测数学试题卷（文科）
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考生须知:
1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.
2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.
4. 考试结束, 只需上交答题卷.
参考公式
如果事件 互斥，那么 ;
如果事件相互独立，那么 ;
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 .
一. 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 , 若 , 则实数 的可能取值有 ( )
(A) 2个 (B) 3个 (C) 4个 (D) 5个
2. 函数 的图象是下图中的 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
3. 若 a = , b = , 其中 , 则一定有( )
(A) a与b共线 (B) a^b (C) a与b的夹角为 (D) | a | = | b |
4. 若 的展开式中只有第4项的系数最大, 那么这个展开式中的常数项是( )
(A) 15 (B) 35 (C) 30 (D) 20
5. 椭圆 的准线方程为 ( )
(A)  (B)  (C)  (D) 
6.下列不等式中, 解集不是空集的是 ( )
(A)  (B) 
(C)  (D) 
7. 设a，b，c是空间三条直线， ， 是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ）
(A) 当c⊥时，若c⊥，则∥ (B) 当 时，若b⊥，则
(C) 当，且c是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥b (D) 当，且 时，若c∥，则b∥c
8.  在 处的导数 是在处取得极值的 ( )
(A) 充分但不必要的条件 (B) 必要但不充分的条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要的条件
9．设函数 则关于x的方程 解的个数为 ( )
(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个
10. 在 点测量到远处有一物体在作等速直线运动, 开始时该物位于点，一分钟后，其位置在 点，且 , 再过一分钟后，该物体位于 点，且 , 则 的值等于 ( )
(A)  (B)  (C)  (D) 
二．填空题: 本大题有7小题, 每小题4分, 共28分. 把答案填在答题卷的相应位置.
11.一个容量为的样本, 分成若干组, 已知某组的频数和频率分别为40和0.125, 则 的值为__________ .
12. 设 , 则函数 的值域是__________ .
13. 在数列 中， ，且 ，则这个数列的前30项的绝对值之和为 __________ .
14. 已知实数 ，则 的最_____值是________.
15. 圆心在抛物线 的焦点且与其准线相切的圆方程是_________________ .
16. 已知直线 和 围成一个三角形, 若点(2,2)在这个三角形的内部, 则实数的取值范围是_____________ .
17. 三棱锥 中,  , △ 是斜边 的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线 与 所成的角为 ; ② 直线 平面; ③ 面 面 ; ④ 点 到平面 的距离是 . 其中正确结论的序号是 __________ .
三. 解答题: 本大题有5小题, 18至21每小题14分，22题16分, 共72分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
18. (本小题满分14分)设函数 ,  ?R.
(1) 求的最小正周期 ;
(2) 求的单调递增区间.
19．(本小题满分14分)
(1) 请写出一个各项均为实数且公比 的等比数列, 使得其同时满足 且 ;
(2) 在符合(1)条件的数列中, 能否找到一正偶数 , 使得 这三个数依次成等差数列? 若能, 求出这个的值; 若不能, 请说明理由.
20 . (本小题满分14分) 某人口袋中有人民币50元3张, 20元3张和10元4张.
(1) 现从中任意取出若干张, 求总数恰好等于80元的不同取法种数(用数字作答);
(2) 现从中任意取出3张, 求总数超过80元的概率.
21．(本小题满分14分)已知四棱锥 的底面是边长为的菱形，∠ = 120°, 又 ⊥平面 是 的中点.
(1) 求证：平面 ⊥平面 ；
(2) 求直线 与直线 所成的角的余弦值；
(3) 设二面角 的平面角为 ，求 的值.
22．(本小题满分16分)
已知双曲线  ,  是右顶点,  是右焦点, 点在正半轴上, 且满足 成等比数列. 过作双曲线在一三象限的渐近线的垂线 , 垂足为.
(1) 求证:  ;
(2) 若与双曲线的左右两支分别相交于点 , 求双曲线的离心率 的取值范围.
2007年杭州市第二次高考科目教学质量检测数学参考评分标准（文科）
一. 选择题 : （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
C
D
B
D
B
C
二．填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分）
11. 320 12. {  13. 765 14. 大; 0
15.  16.  17. ① ② ③ ④
三. 解答题: （本大题有5小题, 18至21每小题14分，22题16分, 共72分）
18. (本小题满分14分)
 --- 4分
（1）最小正周期 --- 4分
（2）由 , 得 ,
所以的单调递增区间是 . --- 6分
19. (本小题满分14分)
(1) 由条件可知 应该是方程 的两个根,
解得  或  , 继而得到 或 , --- 4分
所以符合条件的等比数列可以是 (公比 舍去), --- 3分
或 , 符合条件 --- 3分
(2) 若存在符合题设要求的正整数,
对于 ,
由 , 可解得 (舍去), --- 2分
或 符合题意. --- 2分
20 . (本小题满分14分)
（1）分 ① 取1张50元1张20元1张10元; ② 取1张50元3张10元; ③ 取3张20元2张10元; ④ 取2张2 --- 4分
所以不同取法的种数共有 ;--- 3分
（2）分 ① 取3张50元; ② 取2张50元1张20元; ③ 取2张50元1张10元; ④ 取1张50元2张20元四种情况, --- 4分
可求得 . --- 3分
21．(本小题满分14分)
由⊥平面，所以以为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵ 的底面是边长为的菱形，∠ = 120°, 是的中点. 所以
  , ∵  是的中点, ∴  . --- 2分
(1) 设和 交于点，则Q(0 , , 0 ), ∴  = (0, 0,  ,) ,
 = 2, PC⊥平面ABCD，∴QP⊥平面ABCD, 平面EBD⊥平面ABCD; --- 4分
(2) ∵ · = (– ,,–)·(–,0, ,) = - 2 ,
||= , ||=  ,
∴ cos<,> =  = ; - 4分
(3) 设平面ABE的法向量为p= (x ,y , z ), 可得p= (– , 1, ),
又AC⊥BC,得AC⊥面BDE,又  = (0, a,0),
∴取平面BDE的法向量q = ( 0, , 0 ),
∴ p·q= , | p| =  , | q |= ,
∴cosq =  . --- 4分
22．(本小题满分16分)
(1) 设 与渐近线 联立, 解得 , --- 2分
由成等比数列, 可得 , --- 2分
所以 , --- 2分
可证得 ; --- 2分
(2) 设与双曲线方程联立, 消去, 得到
 , --- 3分
由韦达定理 可得 , 即 , 也就是 , - 3分
所以 , 得到离心率的范围为 . --- 2分
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