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2007年浙江省杭州市第二次高考科目教学质量检测数学试题卷（理科）
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考生须知:
1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.
2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.
3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.
4. 考试结束, 只需上交答题卷.
参考公式
如果事件 互斥，那么 ;
球的表面积公式 ,其中 表示球的半径.
如果事件相互独立，那么
球的体积公式 ,其中表示球的半径.
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的概率 .
一. 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 .
1. 已知集合M ={ m | m = in , n ?N }, 则下面属于M的元素是（ ）
(A) ( 1 – i ) + (1+ i ) (B) (1 – i ) ( 1 + i ) (C)  (D) ( 1 – i )2
2. 已知函数f ( x ) = ksinx 的图象经过点P(  ,  ) , 则函数图象上过点P的切线斜率等于（ ）
(A) 1 (B)  (C) – (D) –1
3. 二项式 展开式中的常数项是（ ）
(A) (B) (C) (D)
4. 设P为双曲线 上的一点且位在第一象限。若 、 为此双曲线的两个焦点，且且|PF1| ：|PF2| = 3 ：1，则 的周长等于 ( )
(A)22 (B)16 (C) 14 (D) 12
5.若a, b是非零向量且满足: (a–2b)^ a ，(b –2a)^ b，则a与b的夹角是（ ）
(A) (B) (C) (D)
6. 如图，A, B, C表示3种开关，设在某段时间内它们正常工作的概率是分别是0.9 , 0.8 , 0.7 , 如果系统中至少有1个开关能正常工作, 那么该系统正常工作的概率是（ ）
(A)0.504 (B) 0.496 (C) 0.994 (D)0.06
7.设l，m，n是空间三条直线， ， 是空间两个平面，则下列选项中正确的是（ ）
(A) 当n⊥时，“n⊥”是“∥”成立的充要条件
(B) 当m ?a且n是l在内的射影时，“m⊥n，”是“l⊥m”的充分不必要条件
(C) 当m ?a时，“m⊥”是“ ”必要不充分条件
(D) 当m ?a，且n ?a时，“n∥”是“m∥l”的既不充分也不必要条件
8.设函数 则关于x的方程 解的个数为 ( )
(A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个
9. 有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有（ ）
(A) 36条 (B) 33条 (C)21条 (D)18条
10. 在O点测量到远处有一物体在作等速直线运动, 开始时该物位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ = 90°,再过一分钟后，该物体位于R点，且∠QOR =30°, 则tan2∠OPQ 等于 ( )
(A)  (B) (C) (D) 
二．填空题: 本大题有4小题, 每小题7分, 共28分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.
11. 在直角坐标系xOy中, 设 = (– t , 2 ) ,  = (– 3, t ) , 则线段BC中点M(x , y )的轨迹方程是 .
12. 若 的分布列为：
x
0
1
P
P
q
其中 ，则 __________________， _____________.
13.已知等差数列 项和为S n, 若m > 1, 且am – 1 + a m + 1 – =0,S2m – 1 = 38, 则m等于 .
14. 设A = { x | 2 ?x ?p, x ?R}, 定义在集合A上的函数y = log a x ( a > 0且a ?1)的最大值比最小值大1, 则底数a的值是 .
15.设n为正整数，坐标平面上有一等腰三角形，它的三个顶点分别是(0,2)、( ,0)、( ,0)，设此三角形的外接圆直径长等于 ，则 = .
16.平面直角坐标系xOy中, 点P（x ,y ）满足条件：(| x | +  – 1 ) (| x | + – 2 ) (| x | + – 3 ) ? 0 ，则点P所在区域的面积为 .
17. 三棱锥 中,  , △ 是斜边 的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线 与 所成的角为 ; ② 直线 平面; ③ 面 面 ; ④ 点 到平面 的距离是 . 其中正确结论的序号是 _______________
三. 解答题: 本大题有5小题, 18至21每小题14分，22题16分, 共72分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
18. (本小题满分14分)
(1) 请写出一个各项均为实数且公比 的等比数列, 使得其同时满足 且 ;
(2) 在符合(1)条件的数列中, 能否找到一正偶数 , 使得 这三个数依次成等差数列? 若能, 求出这个的值; 若不能, 请说明理由.
19. (本小题满分14分) 设函数f ( x ) = 2cosx (cosx + sinx) – 1 , x ?R
(1) 求f ( x ) 最小正周期T ;
(2) 求 f ( x ) 单调递增区间；
(3) 设点P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) , …, Pn(xn , yn) (n ?N*)在函数f ( x )的图象上，且满足条件：x1 = ，xn + 1 – xn = , 求Nn = y1 + y2 + …+ yn 的值.
20（本小题满分14分）已知四棱锥P - ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC = 120°, 又PC⊥平面ABCD，PC = a，E是PA的中点.
1) 求证：平面EBD⊥平面ABCD；
2) 求直线PB与直线DE所成的角的余弦值；
3) 设二面角A – BE – D的平面角q，求cosq的值
21. (本小题满分14分)
已知直线l: y = kx + k + 1，抛物线C：y2 = 4x ，和定点M ( 1, 1 ) .
(1) 当直线经过抛物线焦点F时，求点M关于直线l的对称点N的坐标，并判断点N是否在抛物线C上
(2) 当k 变化 (k ?0 )且直线l与抛物线C有公共点时，设点P (a , 1 ) 关于直线l的对称点为Q ( x0 , y0), 求x 0 关于k的函数关系式x 0 = f ( k ). 并求P与M重合时，x 0的取值范围
22. (本小题满分16分)已知函数 和点 ，过点作曲线 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ．
（Ⅰ）设 ，试求函数 的表达式；
（Ⅱ）是否存在 ，使得、与 三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间 内总存在 个实数 ， ，使得不等式 成立，求的最大值．
2007年杭州市第二次高考科目教学质量检测数学参考评分标准（理科）
一. 选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 .
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
A
B
C
C
B
C
B
二．填空题: 本大题有4小题, 每小题7分, 共28分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.
11. 2x + 2y +1 = 0 12. q，pq 13. 765 14. 或 15.2 16. 24 17.①②③④
三. 解答题: 本大题有6小题, 共84分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
18. (本小题满分14分)
(1) 由条件可知 应该是方程 的两个根,
解得  或  , 继而得到 或 , --- 4分
所以符合条件的等比数列可以是 (公比 舍去), --- 3分
或 , 符合条件 --- 3分
(2) 对于 ,
由 , --- 2分
解得 或 . --- 2分
19. (本小题满分14分)
 4分
（1） . --- 3分
（2）由2kp–  ?2x + ?2kp+ , 得：kp– ?x ?kp+ （k ?Z）,
f ( x ) 单调递增区间是[kp– ，kp+]（k ?Z） . --- 3分
(3) ∵x1 = ，xn + 1 – xn = ,
∴当n 为奇数时Pn 位于图象最高处，当n 为偶数时Pn 位于图象最低处，
∴ 当n 为奇数时，Nn = 2，
当n 为偶数时，Nn = 0。 ---4分
20（本小题满分14分）
∵PC⊥平面ABCD，∴以C为原点，CA所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
∵ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC = 120°, PC = a，E是PA的中点.
∴C (0, 0, 0), A (0,  a,0) , B(– a,  a,0), D (a, a, 0 ). P (0, 0, a),
∵E是PA的中点, ∴ E (0, a, a,). --- 3分
1) 设AC与BD交于点Q，则Q(0 ,a, 0 ), ∴ = (0, 0, a,) ,
∵ = 2,∴PC⊥平面ABCD，∴QE⊥平面ABCD.
平面EBD⊥平面ABCD. --- 3分
2) ∵ · = (–a , a, – a)·(–a,0, a,) = – a2 .
||= a, ||= a ,
∴cos<,> =  = – --- 4分
3) 设平面ABE的法向量为p= (x ,y , z ), 可得p= (–, 1, ),
又AC⊥BC,得AC⊥面BDE,又  =(0, a,0),
∴取平面BDE的法向量q = ( 0, , 0 ),
∴ p·q= , | p| =  , | q |= .
∴ cosq=  . ----4分
21. (本小题满分14分)
(1) 由焦点F ( 1, 0 ) 在l上, 得k = – , ∴l: y = –x + ---1分
设点N( m, n ) , 则有:  , --- 2分
解得 , ∴N ( , –  ) . ---2分
∵ ? ( –)2 , ∴N点不在抛物线C上. ---2分
(2) 把直线方程代入抛物线方程得: k2x2 + 2 (k2 + k – 2 )x + ( k + 1)2 = 0 ,
∵相交,∴△ = 4[(k + 2 )( k – 1 )]2 – 4k2( k + 1)2 = 6 (–k2 – k + 1)? 0,
解得 ? k ? 且k ? 0 . ---2分
由对称得 ,
解得 x0 = (  ? k ?,且k ? 0). ---2分
当P与M重合时, a = 1,
∴ f ( k ) = x0 =  = – 3 + (? k ?, 且k ? 0), -
∵函数x0 = f ( k )(k?R)是偶函数,且k > 0时单调递减.
∴当k = 时, (x0)min = ,  ,
∴ x0 ?[，1). 3分
22. (本小题满分14分)
（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为 、 ，
  ， ---2分
∴切线的方程为： ，
又切线过点 ，  有 ，
即 ， （1）
同理，由切线也过点，得 ．（2）
由（1）、（2），可得 是方程 的两根， （* ）
  ，
把（* ）式代入,得 ,
因此，函数的表达式为 ． ---4分
（Ⅱ）当点、与共线时， ，
 ＝ ，即 ＝ ，
化简，得 ， ---3分
 ， ． （3）
把（*）式代入（3），解得 ．
存在 |
